문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 칼만 필터 (문단 편집) == 칼만필터 공식유도 == 칼만필터의 유도과정을 이해하기 위해선 베이지안 확률에 대한 컨셉을 아주 조금은 이해할 필요가 있다. 베이지안 확률은 확률을 실제 일어날 빈도로 보는 것이 아닌 신뢰성으로 보자는 개념이다. 가령 당첨확률이 50%인 복권이 있다고 할때 이를 10개 샀을때 5개가 당첨되는 복권으로 해석하는 것이 아니라 1개를 샀을때 당첨될 확률이 50%로 해석하는 것이다. 무엇이 달라지냐고 생각할 수도 있겠지만 베이지안 확률에서 확률은 실제 현상이 아닌 어디까지나 신뢰성을 의미한다. 그 뜻은 실제 현상과는 달리 주어진 정보에 따라 확률분포가 달라질 수 있다는 것으로 해석할 수 있다. 이공계 학부 1학년때 배우는 몬티홀 문제가 가장 대표적인 예시이다. 상품과 꽝 사이 어떠한 변화가 일어나지도 않았음에도 선택에 따른 확률이 각각 [math(\frac{1}{3})], [math(\frac{2}{3})]로 변화한 것은 몬티홀 문제에서 다루고 있는 확률이 어디까지나 선택에 대한 신뢰성을 이야기하기 때문이다. 추가적인 정보를 통해 선택에 대한 신뢰성이 변화한 것이지 실제 현상이 변화한것은 아니기 때문에 빈도주의 관점에서 보자면 사실 확률은 변화하지 않은 것이 맞다. --그러니까 인문계 학생들이 몬티홀 문제를 이해하지 못한다고 열올리지는 말자 세상에 단 하나의 진리만 존재하는 경우는 많지 않다.-- 칼만필터는 베이지안 확률의 이러한 컨셉으로부터 유도된다. 즉 칼만필터는 칼만이득 K에 따라 공분산을 조절할 수 있다는 아이디어로부터 공분산을 최소로 하는 칼만이득을 찾는 것으로 [math(\frac{\partial tr(P)}{\partial K}=0)]일때의 K를 구하는 것이다. 아래는 상기 설명한 컨셉을 기반으로 칼만필터 유도하는 과정을 보여준다. 먼저 예측단계는 상태공간방정식을 사용하여 미래의 상태값을 예측하는 단계로 이때 예측된 상태의 공분산[math(P_{k}^-)]는 아래와 같이 유도된다. [math(P_{k}^-=E[(x_{k}-\hat{x}_{k}^-)(x_{k}-\hat{x}_{k}^-)^T])] [math(P_{k}^-=E[(A(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})+\omega_{k})(A(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})+\omega_{k})^T])] [math(P_{k}^-=AE[(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})(x_{k-1}-\hat{x}_{k-1})^T]A^T + E[\omega_{k}\omega_{k}^T])] [math(P_{k}^-=AP_{k-1}A^T + Q_{k})] 보정단계는 오차를 이용하여 상태값을 보정해주는 단계로 보정항이 고려되었을때 추정값의 오차와 공분산은 아래와 같이 다시 유도할 수 있다. [math(x_{k}-\hat{x}_{k}=x_{k}-(\hat{x}_{k}^-+K_{k}(z_k-H\hat{x}_{k}^-)))] [math(x_{k}-\hat{x}_{k}=(I-K_{k}H)(x_{k}-\hat{x}_{k}^-)-K_{k}v_{k})] [math(P_{k}=E[(x_{k}-\hat{x}_{k})(x_{k}-\hat{x}_{k})^T])] [math(P_{k}=(I-K_{k}H)E[(x_{k}-\hat{x}_{k}^-)(x_{k}-\hat{x}_{k}^-)^T](I-K_{k}H)^T+K_{k}E[v_{k}v_{k}^T]K_{k}^T)] [math(P_{k}=(I-K_{k}H)P_k^-(I-K_{k}H)^T+K_{k}R_{k}K_{k}^T)] 칼만이득은 공분산을 최소로 하는 지점이라고 하였으므로 아래와 같이 유도가 가능하다. [math(\frac{\partial tr(P_{k})}{\partial K_{k}}=-2P_{k}^{-}H^{T}+2K_{k}HP_{k}H^{T}+2K_{k}R_{k}=0)] [math(\therefore K_{k}=P_{k}^{-}H^{T}(HP_{k}^{-}H^{T}+R_{k})^{-1})]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기